Waarschijnlijkheid is een lastig, weinig intuïtief concept dat zelfs mensen die over het algemeen geacht worden beter te weten parten kan spelen. Stel je een urn voor met tien ballen erin, negen van hout en eentje van goud. Als je er één bal mag uithalen, heb je een kans van een op tien dat je de waardevolle bal vindt.
Als je twee ballen uit de urn haalt, verdubbel je je kans tot twee op tien en als je er negen mag uithalen, heb je 90% kans dat je de gouden bal kiest. Als je ten slotte alle tien de ballen uit de urn haalt, wel, dan weet je zeker dat je de prijs hebt. Waarschijnlijkheden tel je gewoon bij elkaar op, nietwaar?
Waarschijnlijk verkeerd
Niet altijd. Andrew Huberman, een neurowetenschapper aan Universiteit van Stanford en gastheer van de Huberman Lab podcast, legt in een van de afleveringen uit waarom koppels die zwanger willen worden best zes maanden wachten voordat ze zich zorgen gaan maken dat er iets mis is: "Voor vrouwen onder de 30, omdat de kans om zwanger te worden bij elke poging 20% is, moet ze, als het de eerste keer niet lukt, het gewoon minstens vijf en waarschijnlijk zes keer herhalen, voordat ze besluit dat er iets aan de hand is, want twintig keer vijf is honderd, dus we hebben het over cumulatieve percentages, 20-40-60-80-100%, en de zesde maand zou je naar 120% brengen, wat iets heel anders is".
Iets heel anders, inderdaad. Dat is wat er gebeurt als twee intuïties botsen: we "weten" dat kansen kunnen worden opgeteld en we weten ook dat een kans van 120% niet mogelijk is. Hier is hoe we het correct zouden kunnen uitwerken. Zwanger worden tijdens bijvoorbeeld de derde cyclus is een combinatie van opeenvolgende gebeurtenissen die allemaal moeten plaatsvinden: niet zwanger worden tijdens cycli één en twee (je kunt immers niet meer dan één keer tegelijk zwanger worden), én zwanger worden tijdens de derde cyclus.
De kans dat deze drie onafhankelijke gebeurtenissen na elkaar plaatsvinden, vind je door de kansen van elk event te vermenigvuldigen: 80% x 80% x 20%, of 12,8%. Als we dit doen voor alle vijf cycli, vinden we de kansen om zwanger te worden respectievelijk 20%, 16% (80% x 20%), 12,8% zoals eerder berekend, en 10,24% en 8,19% voor de laatste twee cycli. De totale waarschijnlijkheid is de som van alle vijf: 67,23%.
Ziet er een beetje ingewikkeld uit en is dat ook: we moeten immers de waarschijnlijkheid van vijf verschillende samengestelde gebeurtenissen berekenen. Maar er is een slimme truc die we kunnen gebruiken om onze berekening een stuk eenvoudiger te maken. Zwanger worden en niet zwanger worden zijn complementaire gebeurtenissen: je bent het, of je bent het niet, en daarom is de kans op het ene 100% minus de kans op het andere.
Dus de kans om zwanger te worden in een van de vijf cycli is 100% minus de kans om in geen enkele cyclus zwanger te worden. Er is maar één reeks gebeurtenissen die overeenkomt met vijf cycli van niet zwanger worden: vijf keer achter elkaar niet zwanger worden. De kans hierop is 80% x 80% x 80% x 80% x 80%, of 32,77%. De kans om zwanger te worden is het complement: 100% - 32.77% = 67.23%. Deze eenvoudige berekening geeft exact hetzelfde resultaat als de ingewikkelde berekening van voorheen.
Ik heb dit altijd een bijzonder krachtig inzicht gevonden, sinds ik er op de middelbare school mee kennismaakte. Hoewel ik kansrekening nog steeds niet bijzonder intuïtief vind, hebben de eenvoud en elegantie van deze tactiek me al vaak uit de brand geholpen.
Een complementair kader
Maar voorkomen dat we dezelfde fout maken als Huberman of ons in staat stellen om met minimale inspanning de juiste oplossing te vinden, is niet de enige manier waarop een complementaire kijk ons helderheid kan brengen. Zoals Amos Tversky en Daniel Kahneman toonden in hun klassieke paper over de framing van beslissingen en de psychologie van keuzes, kan het ons ook helpen om een andere kijk te krijgen op dezelfde gegevens.
In een van hun gedachte-experimenten, bekend als de Aziatische ziekte, bereidt de VS zich voor op een nakende epidemie, die naar verwachting 600 mensen zal doden als er niet wordt ingegrepen. Twee sets van twee interventies worden gepresenteerd om de ziekte te bestrijden waartussen de deelnemers kunnen kiezen.
Voor de eerste groep is dat tussen programma A dat 200 mensen zal redden, en programma B met een kans van 1/3 dat 600 mensen worden gered, en een kans van 2/3 dat niemand wordt gered. Een tweede groep deelnemers kan kiezen tussen programma C: 400 mensen zullen sterven, of voor optie D, waarbij er een kans van 1/3 is dat niemand zal overlijden, en een kans van 2/3 dat 600 mensen zullen sterven.
Het is je wellicht opgevallen dat opties A en C, en B en D identiek zijn, maar als complementair worden voorgesteld – in het eerste geval ligt de nadruk op gered worden, in het tweede op de overlijdens. Tversky en Kahneman voerden dit experiment uit met een breed scala aan deelnemers, onder wie ook artsen, en stelden vast dat in totaal in de eerste groep 72% koos voor A en 28% voor B.
In tegenstelling tot wat de identieke uitkomsten van opties A en C, en B en D, zouden doen verwachten, koos de tweede groep heel anders: slechts 22% koos voor C, met de zekerheid (dat 400 mensen zouden sterven), terwijl 78% voor programma D koos.
Dit illustreert hoe complementaire framing kan leiden tot aanzienlijk verschillende interpretaties van in wezen precies dezelfde gegevens. De voorkeur voor D eerder dan C duidt op een risicobereidheid (die typisch optreedt wanneer de uitkomsten als verliezen worden voorgesteld): de zekere dood van 400 mensen is minder aanvaardbaar dan de 2/3 kans dat 600 mensen zullen sterven. A verkiezen boven B (met uitkomsten die als winst worden voorgesteld) leidt meestal tot risicomijding.
Hoewel dit slechts een gedachte-experiment was, stel je voor dat je voor de keuze staat om al dan niet een operatie te ondergaan, en hoe je zou reageren als men je zei dat de operatie een overlevingskans van 95% had, ofwel dat er een kans van 5% was dat je niet meer zou ontwaken uit de verdoving.
En er is meer. Gezondheidsrisico's gerelateerd aan je dieet worden vaak uitgedrukt als een procentuele toename van de kans op een gezondheidsprobleem bij een toename van de consumptie. Professor David Spiegelhalter, een expert risicocommunicatie naar het brede publiek aan de Universiteit van Cambridge, bespreekt een studie die beweert dat "er geen veilig niveau van alcoholinname is" – elke hoeveelheid die wordt geconsumeerd, verhoogt het risico op 23 alcoholgerelateerde gezondheidsproblemen, van 0,5% (voor één drankje per dag, tot 7% voor twee, en zelfs 37% voor vijf).
Een toename van 37% klinkt beslist zorgwekkend. Maar wat betekent dat eigenlijk? Het risico dat geheelonthouders lopen op de betrokken 23 ziekten is 914 op 100.000, of 0,914%. Een toename met 37% van de kans op deze ziekten komt overeen met een stijging van 914 naar 1.252, of 1,252%.
Maar als we kijken naar het complement – de mensen die geen alcoholgerelateerde aandoeningen ontwikkelen – betekent dit dat hun kans om vrij te blijven van deze gezondheidsproblemen daalt van 99,086% naar 98,748%. De relatieve toename met 37% van de kans om een van de ziekten te ontwikkelen vertelt een heel wat alarmerender verhaal dan de relatieve afname met 1,17% van de kans om er vrij van te blijven...
Je kunt zelfs FOMO – fear of missing out – bestrijden met behulp van complementaire framing. Als je de drang voelt om je op steeds interessantere nieuwsbrieven te abonneren, veel exotische plaatsen te bezoeken, de boeken te stapelen of op de hoogte te blijven van het doen en laten van je vrienden en kennissen via sociale media, en je toch nog het gevoel hebt dat je altijd iets mist, kan complementair denken je helpen om een meer stoïcijnse houding aan te nemen.
Kijk niet naar hoeveel je "niet mist", maar naar het enorme complement dat je wel mist, en voor altijd zult missen – de nieuwsbrieven waar je je niet eens bewust van bent, de plaatsen waar je nooit naartoe zult reizen enzovoort. Elke extra ervaring kan aanvoelen als een belangrijk gewin (tot de drang weer toeslaat!).
Maar als je je realiseert dat dit nauwelijks een verschil zal maken in de totaliteit van wat voor altijd buiten je bereik zal blijven, kun je de fixatie en het koortsachtige nastreven die FOMO opwekt, onderbreken. De stoïcijnen noemden dit negatieve visualisatie: door in te schatten wat je onvermijdelijk zult missen, kun je de angst voor een enkele kans loslaten en meer genoegen beleven aan wat je wel hebt verkregen.
Ontketen de kracht van het complement!
